MATE 3177 El Quinto Problema de Hilbert y Otros Temas

El quinto problema de Hilbert afirma que todo grupo topológico localmente euclideano es un grupo de Lie.

Este problema fue solucionado cuando Montgomery y Zippin y Gleason, y la demostración incluye entender de manera profunda la estructura de los grupos topológicos localmente compactos y en particular su relación con grupos de Lie.

La demostración de este teorema requiere desarrollar propiedades algebraicas y geométricas de los grupos de Lie y sus álgebras (fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, entender teoremas de representación de grupos de Lie compactos (Peter-Weyl) y combinarlo con teoremas topológicos de metrización y compacidad. Es una relación fascinante entre diversas áreas de matemáticas con aplicaciones sorprendentes como el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial.